Module 2 : Concepts de probabilités

Lois de probabilités en biostatistique

Objectifs

1. Comprendre les probabilités de base
2. Appliquer le théorème de Bayes (tests diagnostiques)
3. Maîtriser les distributions : binomiale, normale, Poisson
4. Comprendre le théorème central limite

Probabilité : définition

\[0 \leq P(A) \leq 1\]

P(A)	Signification
0	Impossible
0.5	Aussi probable qu’improbable
1	Certain

Exemple : P(guérison | traitement) = 0.85 → 85% de chances de guérison

Probabilité conditionnelle

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Exemple clinique :

• 200 patients : 120 HTA, 80 diabétiques, 50 HTA+diabète
• P(diabète | HTA) = 50/120 = 41.7%
• P(HTA | diabète) = 50/80 = 62.5%

Théorème de Bayes et tests diagnostiques

\[VPP = \frac{Se \times Prev}{Se \times Prev + (1-Sp) \times (1-Prev)}\]

Exemple : Sensibilité = 95%, Spécificité = 90%, Prévalence = 1%

VPP = 8.8% seulement !

Avertissement

Un test positif ne signifie pas forcément que le patient est malade.

Loi binomiale

\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\]

• n essais indépendants, probabilité de succès p
• Moyenne : \(\mu = np\)
• Variance : \(\sigma^2 = np(1-p)\)

Exemple : 10 patients traités, p(guérison) = 0.7

dbinom(8, size = 10, prob = 0.7)  # P(X=8)

Loi normale

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

Règle empirique :

• 68% dans \([\mu \pm \sigma]\)
• 95% dans \([\mu \pm 2\sigma]\)
• 99.7% dans \([\mu \pm 3\sigma]\)

Z-score : standardisation

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

Permet de comparer des variables d’unités différentes.

Exemple : Glycémie 1.4 g/L (μ=1.0, σ=0.2) → Z = 2.0

z <- (1.4 - 1.0) / 0.2  # Z = 2
pnorm(z, lower.tail = FALSE)  # P(X > 1.4)

Loi de Poisson

\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

Modélise les événements rares :

• Cas de méningite par mois
• Admissions aux urgences par heure
• Mutations dans une séquence ADN

dpois(5, lambda = 3)  # P(X=5) si λ=3

Théorème central limite

La moyenne de n observations tend vers une loi normale quand n augmente, quelle que soit la distribution d’origine.

\[\bar{X} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \text{ pour } n \geq 30\]

Justifie l’utilisation des tests paramétriques sur de grands échantillons.

Résumé

Distribution	Type	Usage	Fonction R
Binomiale	Discrète	Succès/échec	dbinom()
Normale	Continue	Mesures physiol.	dnorm()
Poisson	Discrète	Événements rares	dpois()

Prochaine étape

Module 3 : Analyse descriptive des données

• Visualisations : histogrammes, boxplots, nuages de points
• Détection des valeurs aberrantes
• Analyse exploratoire complète