# Test d'indépendance
tableau <- matrix(c(45, 40, 8, 7, 52, 38, 6, 4), nrow = 2,
dimnames = list(Sexe = c("M", "F"),
Groupe = c("A", "B", "AB", "O")))
chisq.test(tableau)Module 2
Concepts de probabilités
Lois de probabilités appliquées à la biostatistique
4h Débutant Prérequis : Module 1
Objectifs pédagogiques
- Comprendre les notions fondamentales de probabilités
- Appliquer le calcul des probabilités à des situations biomédicales
- Identifier et utiliser les distributions statistiques courantes
- Simuler des distributions avec R et SPSS
1 1. Notions fondamentales de probabilités
Imaginez que vous êtes médecin dans un centre de santé à Douala. Une patiente se présente avec de la fièvre et des douleurs articulaires. Vous devez décider si vous lui prescrivez un test de dépistage du paludisme. Avant même de recevoir les résultats, une question traverse votre esprit : quelle est la chance que cette patiente soit réellement atteinte de paludisme, compte tenu de ses symptômes et de la saison ? Sans le savoir, vous êtes en train de raisonner en termes de probabilités.
Les probabilités sont le langage mathématique de l’incertitude. En biostatistique, elles constituent un outil indispensable car la médecine est, par nature, un domaine où l’on ne dispose jamais de certitudes absolues. Un traitement ne guérit pas tous les patients. Un test diagnostique ne donne pas toujours la bonne réponse. Une épidémie ne frappe pas chaque individu de la même manière. Les probabilités nous permettent de quantifier cette incertitude, de la mesurer, et surtout de prendre des décisions rationnelles malgré elle.
Ce module vous initie aux concepts fondamentaux de probabilités et aux distributions statistiques les plus utilisées en santé. A la fin de ce chapitre, vous serez capables de raisonner rigoureusement face à des situations d’incertitude clinique et épidémiologique.
1.1 1.1 Définitions
Définition
La probabilité d’un événement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance que cet événement se réalise.
- P(A) = 0 : événement impossible
- P(A) = 1 : événement certain
- 0 < P(A) < 1 : événement possible
Pour bien comprendre cette notion, pensons d’abord a un exemple de la vie quotidienne. Lorsque vous lancez une pièce de monnaie équilibrée, la probabilité d’obtenir “face” est de 0.5, soit 50%. Cela signifie que si vous lanciez cette pièce un très grand nombre de fois, environ la moitié des lancers donneraient “face”. La probabilité ne prédit pas le résultat d’un lancer individuel — elle exprime une tendance à long terme, une fréquence attendue.
En biostatistique, cette même logique s’applique a des situations bien plus conséquentes. Lorsqu’un laboratoire pharmaceutique annonce que son médicament a une probabilité de guérison de 0.7 (soit 70%), cela signifie que, sur un très grand nombre de patients traités, environ 70 sur 100 guériraient. Les 30 autres ne répondraient pas favorablement au traitement. Cette information est précieuse : elle permet au médecin d’informer son patient de manière honnête, et au système de santé de planifier ses ressources.
Voici quelques exemples concrets de probabilités que l’on rencontre quotidiennement dans le domaine biomédical :
La sensibilité d’un test diagnostique, notée P(test positif | patient infecté), mesure la capacité du test à détecter correctement les personnes malades. Par exemple, si un test rapide de dépistage du VIH a une sensibilité de 99%, cela signifie que sur 100 personnes réellement infectées, 99 seront correctement identifiées par le test.
L’efficacité d’un traitement, exprimée comme P(guérison | traitement A), quantifie la proportion de patients que l’on s’attend à voir guérir grâce à ce traitement. C’est cette probabilité qui guide le choix entre plusieurs options thérapeutiques.
Le risque d’effet indésirable, noté P(effet secondaire | médicament X), informe le praticien et le patient sur les dangers potentiels d’un médicament. Un risque de 0.01 (1%) peut sembler faible, mais lorsqu’on traite des millions de personnes lors d’une campagne de vaccination, cela représente des milliers de cas d’effets secondaires à anticiper et à prendre en charge.
Ces exemples illustrent pourquoi les probabilités ne sont pas un concept abstrait réservé aux mathématiciens : elles sont au coeur de chaque décision médicale.
1.2 1.2 Probabilité conditionnelle
Dans la pratique médicale, on s’intéresse rarement à la probabilité d’un événement pris isolément. Ce qui nous importe, c’est la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement s’est déjà produit. C’est ce qu’on appelle une probabilité conditionnelle.
Prenons un exemple concret. Lors d’une enquête de santé menée dans un district sanitaire du Centre au Cameroun, vous examinez 200 patients adultes. Parmi eux, 120 souffrent d’hypertension artérielle (HTA), 80 sont diabétiques, et 50 présentent les deux pathologies simultanément. Vous vous posez alors la question suivante : si je sais qu’un patient est hypertendu, quelle est la probabilité qu’il soit aussi diabétique ?
Ce n’est pas la même chose que de demander “quelle est la probabilité d’être diabétique dans la population générale” (qui serait 80/200 = 40%). Ici, on restreint notre regard aux seuls patients hypertendus (120 personnes), et on cherche parmi eux combien sont aussi diabétiques (50 personnes). La formule générale de la probabilité conditionnelle s’écrit :
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Dans notre exemple, on obtient :
\[P(\text{diabète} | \text{HTA}) = \frac{50}{120} = 0.417 = 41.7\%\]
Ce résultat est cliniquement très parlant : il nous apprend que parmi les patients hypertendus, plus de 4 sur 10 sont aussi diabétiques. Ce chiffre est légèrement supérieur à la prévalence du diabète dans l’ensemble de l’échantillon (40%). Cela suggère une association entre les deux pathologies, ce qui est cohérent avec ce que l’on sait du syndrome métabolique — un ensemble de facteurs de risque cardiovasculaire (obésité, hypertension, diabète, dyslipidémie) qui tendent à coexister chez les mêmes patients.
La probabilité conditionnelle est un outil fondamental en épidémiologie. Elle sous-tend le calcul de nombreux indicateurs : risque relatif, odds ratio, sensibilité, spécificité, valeurs prédictives. Vous la retrouverez tout au long de cette formation.
1.3 1.3 Indépendance
Après avoir compris la notion de probabilité conditionnelle, une question naturelle se pose : le fait de savoir que B s’est produit change-t-il la probabilité de A ? Si la réponse est non, on dit que A et B sont indépendants.
Mathématiquement, deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
Autrement dit, la probabilité que les deux événements se produisent simultanément est simplement le produit de leurs probabilités individuelles. C’est comme si chaque événement “ignorait” l’existence de l’autre.
Pourquoi cette notion est-elle importante en santé ? Parce que tester l’indépendance entre deux caractéristiques est l’une des questions les plus fréquentes en recherche biomédicale. Par exemple : le groupe sanguin d’un patient est-il indépendant de son sexe ? Si ces deux caractéristiques sont indépendantes, cela signifie que la répartition des groupes sanguins est la même chez les hommes et chez les femmes. Si elles ne sont pas indépendantes, cela pourrait avoir des implications pour la gestion des stocks de sang dans les banques de sang, ou révéler un biais dans un échantillon d’étude.
Pour tester cette hypothèse d’indépendance, on utilise le test du khi-deux (chi-deux), que vous étudierez en détail dans un module ultérieur. Voici comment il se met en oeuvre dans R à partir d’un tableau croisé de données fictives :
Si le test renvoie une p-value supérieure à 0.05, on ne rejette pas l’hypothèse d’indépendance : on considère que le sexe et le groupe sanguin ne sont pas liés dans cet échantillon. Si la p-value est inférieure à 0.05, on conclut à une association statistiquement significative entre les deux variables. Ne vous inquiétez pas si la notion de p-value vous semble encore floue — elle sera expliquée en profondeur dans les modules consacrés aux tests statistiques.
La notion d’indépendance nous prépare naturellement à l’un des théorèmes les plus puissants et les plus contre-intuitifs de toute la statistique : le théorème de Bayes.
1.4 1.4 Théorème de Bayes
Imaginez la scène suivante. Vous êtes médecin biologiste dans un laboratoire à Yaoundé. Un patient vient de recevoir un résultat positif à un test de dépistage d’une maladie rare. Le patient est inquiet. Il vous demande : “Docteur, est-ce que je suis vraiment malade ?”. Votre intuition pourrait vous pousser à répondre : “Le test est positif, donc oui, il y a de fortes chances.” Mais le théorème de Bayes nous montre que la réalité est bien plus nuancée que cela.
Le théorème de Bayes permet de mettre à jour une probabilité à la lumière d’une nouvelle information. Sa formule est la suivante :
\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\]
En langage courant, cette formule dit : la probabilité d’être malade sachant que le test est positif dépend non seulement de la qualité du test, mais aussi de la fréquence de la maladie dans la population.
Application clinique : Valeurs prédictives
Un test de dépistage a une sensibilité de 95% et une spécificité de 90%. La prévalence de la maladie est de 1%.
Quelle est la probabilité qu’un patient avec un test positif soit réellement malade ?
\[VPP = \frac{Se \times Prev}{Se \times Prev + (1-Sp) \times (1-Prev)} = \frac{0.95 \times 0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.10 \times 0.99} = 0.088 = 8.8\%\]
Malgré un test positif, le patient n’a que 8.8% de chances d’être malade.
Ce résultat surprend souvent les étudiants — et même de nombreux praticiens expérimentés. Comment un test qui détecte 95% des malades (sensibilité) et qui identifie correctement 90% des non-malades (spécificité) peut-il avoir une valeur prédictive positive de seulement 8.8% ?
La clé réside dans la prévalence de la maladie. Lorsqu’une maladie est rare (ici 1%), l’immense majorité des personnes testées sont saines. Même avec une spécificité de 90%, les 10% de faux positifs parmi les personnes saines représentent un nombre absolu bien plus élevé que les vrais positifs parmi les rares malades. Concrètement, sur 1000 personnes testées, environ 10 sont malades (1%) et le test en détecte correctement 9.5. Mais parmi les 990 personnes saines, le test génère 99 faux positifs (10% de 990). On se retrouve donc avec environ 108.5 tests positifs, dont seulement 9.5 correspondent à de vrais malades. D’où les 8.8%.
Cette réalité a des conséquences majeures en santé publique, notamment en Afrique subsaharienne où les programmes de dépistage de masse sont fréquents. Comprendre le théorème de Bayes permet d’éviter deux erreurs graves : alarmer inutilement des patients en bonne santé (faux positifs) ou, à l’inverse, ignorer des cas réels (faux négatifs). C’est pourquoi, pour les maladies rares, on préfère souvent un dépistage en deux étapes : un premier test très sensible pour ne manquer aucun cas, suivi d’un test de confirmation très spécifique pour éliminer les faux positifs.
Le code R ci-dessous vous permet de calculer vous-même les valeurs prédictives positive (VPP) et négative (VPN) pour n’importe quelle combinaison de sensibilité, spécificité et prévalence :
# Calcul des valeurs prédictives
sensibilite <- 0.95
specificite <- 0.90
prevalence <- 0.01
VPP <- (sensibilite * prevalence) /
(sensibilite * prevalence + (1 - specificite) * (1 - prevalence))
VPN <- (specificite * (1 - prevalence)) /
(specificite * (1 - prevalence) + (1 - sensibilite) * prevalence)
cat("VPP =", round(VPP * 100, 1), "%\n")
cat("VPN =", round(VPN * 100, 1), "%\n")Maintenant que nous maîtrisons les règles fondamentales du calcul des probabilités, nous pouvons passer à l’étape suivante : découvrir les distributions statistiques, c’est-à-dire les modèles mathématiques qui décrivent comment les probabilités se répartissent pour différents types de phénomènes.
2 2. Distributions statistiques courantes
En biostatistique, nous observons sans cesse des phénomènes aléatoires : le nombre de patients guéris par un traitement, la taille des nouveau-nés, le nombre de cas de choléra enregistrés dans un district sanitaire en une semaine. Chacun de ces phénomènes suit un modèle probabiliste particulier que l’on appelle une distribution (ou loi de probabilité).
Pourquoi est-il important de connaître ces distributions ? Parce qu’elles nous permettent de prédire, de comparer et de décider. Si vous savez que le poids des nouveau-nés dans une maternité suit une loi normale de moyenne 3.2 kg avec un écart-type de 0.5 kg, vous pouvez immédiatement calculer la proportion de bébés attendus en dessous de 2.5 kg (seuil de faible poids de naissance) et dimensionner les soins néonataux en conséquence.
Dans cette section, nous allons étudier les trois distributions les plus utilisées en biostatistique : la loi binomiale, la loi normale et la loi de Poisson. Chacune correspond à un type de situation bien précis.
2.1 2.1 Loi binomiale
La loi binomiale est la distribution à utiliser lorsque vous observez une série de résultats binaires — c’est-à-dire des situations où il n’y a que deux issues possibles : succès ou échec, guéri ou non guéri, positif ou négatif, vivant ou décédé.
Plus précisément, la loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lorsque l’on répète n fois une même expérience de manière indépendante, chaque expérience ayant une probabilité de succès p. On note cette loi \(X \sim B(n, p)\).
Pensez-y comme ceci : vous lancez une pièce truquée (qui donne “face” avec probabilité p) un nombre n de fois, et vous comptez le nombre de “faces” obtenues. La loi binomiale vous donne la probabilité d’obtenir exactement k “faces”. La formule est la suivante :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
Les caractéristiques essentielles de la loi binomiale sont sa moyenne et sa variance, qui se calculent très simplement à partir de n et p :
La moyenne (le nombre de succès attendu) vaut \(\mu = np\). Par exemple, si vous traitez 10 patients avec un médicament efficace à 70%, vous vous attendez en moyenne à 10 x 0.7 = 7 guérisons.
La variance (qui mesure la dispersion autour de cette moyenne) vaut \(\sigma^2 = np(1-p)\). Plus p est proche de 0.5, plus la variance est grande, ce qui signifie que le résultat est moins prévisible.
Prenons un exemple médical concret. Un centre de santé à Bamenda administre un nouveau traitement antipaludique à 10 patients. Les essais cliniques précédents ont montré que ce traitement a une probabilité de guérison de 70%. Le médecin-chef souhaite savoir : quelle est la probabilité que exactement 8 des 10 patients guérissent ? Et quelle est la probabilité que 8 patients ou plus guérissent ?
Le code R suivant répond à ces questions et produit un graphique qui montre la distribution complète des résultats possibles :
# P(X = 8) avec n = 10, p = 0.7
dbinom(8, size = 10, prob = 0.7)
# P(X >= 8)
1 - pbinom(7, size = 10, prob = 0.7)
# Visualisation
x <- 0:10
probs <- dbinom(x, size = 10, prob = 0.7)
barplot(probs, names.arg = x,
main = "Distribution binomiale (n=10, p=0.7)",
xlab = "Nombre de guérisons",
ylab = "Probabilité",
col = "steelblue")
Avec SPSS
* Calcul de probabilités binomiales.
COMPUTE prob_binom = PDF.BINOM(8, 10, 0.7).
EXECUTE.La loi binomiale est omniprésente en santé publique. On l’utilise pour modéliser la séroprévalence (proportion de personnes positives à un test dans une population), pour évaluer l’efficacité vaccinale, ou encore pour dimensionner des essais cliniques en estimant le nombre de succès attendus sous différentes hypothèses.
2.2 2.2 Loi normale (gaussienne)
Si la loi binomiale est la reine des données discrètes (comptages), la loi normale est sans conteste la distribution la plus importante de toute la biostatistique. Elle est si fondamentale que l’on dit parfois qu’elle est “la loi de la nature”.
Pourquoi un tel statut ? Parce que de très nombreuses mesures biologiques et physiologiques suivent naturellement une distribution normale : la taille des individus, le poids des nouveau-nés, la pression artérielle, la glycémie à jeun, le taux d’hémoglobine, la température corporelle… Lorsque l’on mesure l’une de ces variables sur un grand nombre de personnes et que l’on trace un histogramme des résultats, on obtient la fameuse courbe “en cloche”, symétrique et régulière.
La loi normale est entièrement caractérisée par deux paramètres : la moyenne \(\mu\) (qui indique le centre de la courbe, là où se concentrent la plupart des valeurs) et l’écart-type \(\sigma\) (qui mesure la dispersion, c’est-à-dire à quel point les valeurs s’étalent de part et d’autre de la moyenne). On note cette loi \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)\). Sa formule mathématique (dite densité de probabilité) est :
\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Vous n’avez pas besoin de mémoriser cette formule. Ce qu’il faut retenir, ce sont les propriétés remarquables de la courbe en cloche, souvent appelées la “règle des 68-95-99.7” :
La courbe est parfaitement symétrique autour de \(\mu\) : la moitié des valeurs se trouve à gauche de la moyenne, l’autre moitié à droite.
Environ 68.3% des valeurs se situent dans l’intervalle \([\mu - \sigma, \mu + \sigma]\), c’est-à-dire à moins d’un écart-type de la moyenne.
Environ 95.4% des valeurs se situent dans l’intervalle \([\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]\), soit à moins de deux écarts-types de la moyenne. Ce chiffre de 95% est fondamental en statistique : il est à la base de la construction des intervalles de confiance.
Enfin, environ 99.7% des valeurs se situent dans l’intervalle \([\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]\). Autrement dit, il est extrêmement rare d’observer une valeur qui s’éloigne de plus de trois écarts-types de la moyenne.
Illustrons cela par un exemple médical. On sait que la pression artérielle systolique (PAS) dans une population adulte suit approximativement une loi normale de moyenne 120 mmHg et d’écart-type 15 mmHg, soit \(PAS \sim \mathcal{N}(120, 15)\). Un médecin d’un centre de santé à Garoua souhaite savoir quelle proportion de sa patientèle risque d’avoir une PAS supérieure à 140 mmHg, seuil au-delà duquel on parle d’hypertension de stade 1. Grâce à la loi normale, cette question se résout en une seule ligne de code :
# P(PAS > 140)
1 - pnorm(140, mean = 120, sd = 15)
# Visualisation
x <- seq(60, 180, length.out = 200)
y <- dnorm(x, mean = 120, sd = 15)
plot(x, y, type = "l", lwd = 2,
main = "Distribution de la PAS ~ N(120, 15)",
xlab = "Pression artérielle systolique (mmHg)",
ylab = "Densité")
abline(v = 140, col = "red", lty = 2)
# Zone > 140
x_fill <- seq(140, 180, length.out = 100)
y_fill <- dnorm(x_fill, mean = 120, sd = 15)
polygon(c(140, x_fill, 180), c(0, y_fill, 0), col = rgb(1, 0, 0, 0.3))
Avec SPSS
* Proportion avec PAS > 140.
COMPUTE prob = 1 - CDF.NORMAL(140, 120, 15).
EXECUTE.Le résultat nous indique qu’environ 9.1% de la population a une PAS dépassant 140 mmHg. Cette information est précieuse pour la planification sanitaire : si le centre de santé couvre une population de 5000 adultes, on peut s’attendre à environ 455 cas d’hypertension de stade 1, ce qui permet d’anticiper les besoins en médicaments antihypertenseurs et en consultations de suivi.
2.3 2.3 Loi de Poisson
La troisième grande distribution que tout biostatisticien doit connaître est la loi de Poisson. Elle porte le nom du mathématicien français Siméon Denis Poisson et elle modélise le nombre d’événements rares qui se produisent dans un intervalle de temps ou d’espace donné.
Qu’entend-on par “événements rares” ? Il s’agit de phénomènes qui surviennent de manière aléatoire, indépendante, et avec une fréquence relativement faible par rapport au nombre total d’occasions où ils pourraient survenir. La loi de Poisson est caractérisée par un seul paramètre, \(\lambda\) (lambda), qui représente le nombre moyen d’événements par intervalle. Sa formule est :
\[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\]
En santé publique, la loi de Poisson est d’une utilité remarquable. Elle permet de modéliser de nombreux phénomènes épidémiologiques. Par exemple, le nombre de cas de méningite déclarés par mois dans un district sanitaire du nord du Cameroun suit typiquement une loi de Poisson : les cas surviennent de manière sporadique, et leur fréquence varie d’un mois à l’autre, mais on peut calculer une moyenne. De même, le nombre de mutations observées dans une séquence d’ADN de longueur donnée, ou encore le nombre d’admissions aux urgences d’un hôpital par heure, sont des phénomènes bien décrits par cette loi.
Prenons un exemple concret tiré de la surveillance épidémiologique. Un district sanitaire de la région de l’Extrême-Nord enregistre en moyenne 3 cas de paludisme grave par semaine. L’équipe de surveillance souhaite savoir : quelle est la probabilité d’observer 5 cas en une semaine donnée ? Et surtout, quelle est la probabilité d’observer plus de 7 cas, ce qui déclencherait une alerte épidémique ?
# Nombre moyen de cas de paludisme par semaine = 3
lambda <- 3
# P(X = 5) : probabilité de 5 cas en une semaine
dpois(5, lambda = 3)
# P(X > 7) : probabilité de plus de 7 cas (situation d'alerte)
1 - ppois(7, lambda = 3)
# Visualisation
x <- 0:15
probs <- dpois(x, lambda = 3)
barplot(probs, names.arg = x,
main = "Distribution de Poisson (λ=3)",
xlab = "Nombre de cas",
ylab = "Probabilité",
col = "coral")Le calcul montre que la probabilité d’observer plus de 7 cas est très faible (environ 1.2%). Ainsi, si l’on observe 8 cas ou plus dans une semaine, on peut légitimement suspecter que quelque chose d’anormal se produit — peut-être un début d’épidémie, une résistance aux insecticides, ou un changement environnemental favorisant la transmission. C’est exactement ce type de raisonnement probabiliste qui fonde les systèmes d’alerte précoce en santé publique.
2.4 2.4 Comparaison des distributions
Maintenant que nous avons étudié les trois distributions principales, il est utile de les mettre en perspective pour savoir laquelle utiliser selon la situation. Le tableau ci-dessous résume leurs caractéristiques essentielles.
| Distribution | Type | Paramètres | Utilisation en santé |
|---|---|---|---|
| Binomiale | Discrète | n, p | Succès/échec de traitement, séroprévalence |
| Normale | Continue | μ, σ | Mesures physiologiques, données de laboratoire |
| Poisson | Discrète | λ | Événements rares, incidence de maladies |
Pour résumer, posez-vous trois questions lorsque vous cherchez quelle distribution appliquer à vos données. Premièrement, votre variable est-elle un comptage (nombre entier) ou une mesure continue ? Si c’est un comptage, vous êtes dans le domaine discret (binomiale ou Poisson). Si c’est une mesure continue (poids, taille, tension), pensez à la loi normale.
Deuxièmement, si votre variable est un comptage, s’agit-il du nombre de succès sur un nombre fixé d’essais (par exemple, 8 guérisons sur 10 patients traités) ? Si oui, c’est une loi binomiale. S’agit-il plutôt du nombre d’événements survenant dans un intervalle de temps ou d’espace, sans nombre d’essais fixé a priori (par exemple, 5 cas de choléra en une semaine) ? Si oui, c’est une loi de Poisson.
Troisièmement, quelle que soit la nature de vos données, si votre échantillon est suffisamment grand, la loi normale pourrait s’appliquer grâce au théorème central limite, que nous allons découvrir à la fin de ce module.
Mais avant d’arriver au théorème central limite, il nous faut comprendre un outil indispensable : la standardisation, c’est-à-dire la transformation d’une loi normale quelconque en une loi normale centrée réduite.
3 3. La loi normale centrée réduite
3.1 3.1 Standardisation (Z-score)
En médecine, on mesure en permanence des grandeurs qui n’ont ni les mêmes unités ni les mêmes ordres de grandeur : la glycémie s’exprime en g/L, le cholestérol en g/L également mais avec des valeurs normales différentes, la pression artérielle en mmHg, le taux d’hémoglobine en g/dL. Comment comparer la situation d’un patient sur ces différentes mesures ? Est-il “plus anormal” en glycémie qu’en cholestérol ?
C’est précisément à cette question que répond la standardisation, aussi appelée calcul du Z-score. L’idée est simple mais puissante : on transforme chaque mesure pour l’exprimer non plus dans ses unités d’origine, mais en nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. La formule de transformation est :
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)\]
Après cette transformation, la variable Z suit une loi normale centrée (sa moyenne vaut 0) et réduite (son écart-type vaut 1). C’est une sorte de “langage universel” qui permet de comparer des mesures de nature complètement différente sur une échelle commune.
Illustrons avec un cas clinique. Un patient se présente à la consultation au CHU de Yaoundé avec les résultats de ses analyses biologiques. Sa glycémie est de 1.4 g/L, alors que la moyenne dans la population générale est de 1.0 g/L avec un écart-type de 0.2 g/L. Son cholestérol total est de 2.8 g/L, pour une moyenne populationnelle de 2.0 g/L et un écart-type de 0.5 g/L. Intuitivement, les deux valeurs sont au-dessus de la normale, mais laquelle est la plus préoccupante ?
z_glycemie <- (1.4 - 1.0) / 0.2 # Z = 2.0
z_cholesterol <- (2.8 - 2.0) / 0.5 # Z = 1.6
cat("Z glycémie =", z_glycemie, "\n")
cat("Z cholestérol =", z_cholesterol, "\n")
cat("La glycémie est plus éloignée de la normale (Z plus élevé)\n")Le Z-score de la glycémie est de 2.0 (deux écarts-types au-dessus de la moyenne), tandis que celui du cholestérol est de 1.6 (1.6 écart-type au-dessus). La glycémie est donc proportionnellement plus éloignée de la norme que le cholestérol, même si, en valeur absolue, l’écart est plus petit (0.4 g/L pour la glycémie contre 0.8 g/L pour le cholestérol). Le Z-score permet de ne pas se laisser tromper par les différences d’échelle.
En pratique, un Z-score supérieur à 2 (ou inférieur à -2) est généralement considéré comme “anormal” car il place l’individu dans les 5% de valeurs les plus extrêmes de la population. C’est exactement le même seuil que l’on utilise pour les courbes de croissance des enfants : un enfant dont le poids-pour-âge a un Z-score inférieur à -2 est classé en malnutrition modérée.
3.2 3.2 Table de la loi normale
Avant l’ère des ordinateurs, les statisticiens utilisaient des tables de la loi normale centrée réduite pour trouver les probabilités associées à chaque valeur de Z. Aujourd’hui, R (et tout autre logiciel statistique) calcule ces valeurs instantanément. Néanmoins, certaines valeurs de Z sont si fréquemment utilisées en biostatistique que vous finirez par les connaître par coeur.
Les valeurs suivantes sont particulièrement importantes car elles correspondent aux seuils utilisés pour construire les intervalles de confiance et réaliser les tests statistiques :
# Quelques valeurs utiles
qnorm(0.025) # -1.96 (limite inférieure IC 95%)
qnorm(0.975) # 1.96 (limite supérieure IC 95%)
qnorm(0.05) # -1.645 (test unilatéral à 5%)
qnorm(0.005) # -2.576 (limite IC 99%)La valeur 1.96 est probablement le chiffre le plus emblématique de toute la statistique. Elle signifie que 95% des valeurs d’une loi normale centrée réduite se trouvent entre -1.96 et +1.96. C’est ce seuil qui est utilisé pour construire les intervalles de confiance à 95%, omniprésents dans les publications scientifiques en santé. La valeur 1.645 correspond au seuil de 5% pour un test unilatéral, et 2.576 au seuil de 1% pour un test bilatéral.
Maintenant que nous disposons de tous les outils liés à la loi normale, nous pouvons aborder le résultat théorique le plus important de ce module — et peut-être de toute la statistique inférentielle.
4 4. Le théorème central limite
Théorème
Quelle que soit la distribution d’une variable X de moyenne μ et d’écart-type σ, la distribution de la moyenne d’un échantillon de taille n tend vers une loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})\) quand n est suffisamment grand (n ≥ 30).
Ce théorème est véritablement la pierre angulaire de la statistique inférentielle, et il mérite que l’on prenne le temps de bien le comprendre. Pour saisir sa portée, commençons par un constat surprenant.
Supposons que vous mesuriez le temps d’attente aux urgences d’un hôpital de Douala. Ce temps d’attente suit une distribution exponentielle, c’est-à-dire une distribution fortement asymétrique : la plupart des patients attendent peu de temps, mais quelques-uns attendent très longtemps. Ce n’est clairement pas une distribution normale — pas de belle courbe en cloche ici.
Maintenant, imaginez que vous préleviez un échantillon de 30 patients et que vous calculiez le temps d’attente moyen de cet échantillon. Puis vous recommenciez avec un autre échantillon de 30 patients, et un autre, et encore un autre, des milliers de fois. Si vous traciez l’histogramme de toutes ces moyennes, vous obtiendriez… une courbe en cloche ! Une distribution normale, alors même que la distribution de départ était tout sauf normale.
C’est exactement ce que dit le théorème central limite : quelle que soit la forme de la distribution originale (asymétrique, bimodale, uniforme, etc.), la distribution des moyennes d’échantillons tend vers une loi normale dès que la taille de l’échantillon est suffisamment grande (en pratique, n >= 30 est souvent considéré comme suffisant).
Ce théorème justifie l’utilisation de la loi normale pour les tests statistiques, même quand les données ne sont pas normalement distribuées. C’est grâce à lui que les tests t de Student, les intervalles de confiance, et de nombreuses autres méthodes statistiques “fonctionnent” dans la pratique, même lorsque les données brutes ne suivent pas une loi normale. C’est un résultat d’une importance capitale pour le biostatisticien : il signifie que, si votre échantillon est assez grand, vous pouvez utiliser les outils de la loi normale en toute confiance.
Le code R suivant illustre ce théorème de manière spectaculaire. On part d’une distribution exponentielle (très asymétrique) et on observe comment la distribution des moyennes d’échantillons se rapproche progressivement d’une loi normale à mesure que la taille de l’échantillon augmente :
# Démonstration : distribution exponentielle (asymétrique)
set.seed(42)
par(mfrow = c(2, 2))
# Distribution originale
hist(rexp(10000, rate = 1), breaks = 50,
main = "Distribution exponentielle", xlab = "x")
# Moyennes d'échantillons de taille 5
moyennes_5 <- replicate(10000, mean(rexp(5, rate = 1)))
hist(moyennes_5, breaks = 50,
main = "Moyennes (n=5)", xlab = "Moyenne")
# Moyennes d'échantillons de taille 30
moyennes_30 <- replicate(10000, mean(rexp(30, rate = 1)))
hist(moyennes_30, breaks = 50,
main = "Moyennes (n=30)", xlab = "Moyenne")
# Moyennes d'échantillons de taille 100
moyennes_100 <- replicate(10000, mean(rexp(100, rate = 1)))
hist(moyennes_100, breaks = 50,
main = "Moyennes (n=100)", xlab = "Moyenne")
par(mfrow = c(1, 1))En exécutant ce code, vous constaterez visuellement que le premier histogramme (distribution originale) est très asymétrique, penché vers la droite. Avec des échantillons de taille 5, les moyennes commencent déjà à se rapprocher d’une forme symétrique, mais la distribution reste encore irrégulière. A n = 30, la transformation est saisissante : on obtient une courbe en cloche presque parfaite. A n = 100, la distribution est indiscernable d’une loi normale, et elle est aussi beaucoup plus concentrée autour de la vraie moyenne (car l’écart-type de la moyenne diminue en \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), donc plus n est grand, plus les moyennes sont proches les unes des autres).
Ce résultat a une conséquence pratique immédiate : dans vos futures recherches en santé, si votre échantillon est de taille suffisante (n >= 30), vous pourrez utiliser les méthodes statistiques basées sur la loi normale, même si la distribution sous-jacente de vos données n’est pas parfaitement gaussienne. C’est une des raisons pour lesquelles on recommande souvent un minimum de 30 sujets par groupe dans les études cliniques.
5 Références
- Agresti, A. (2018). Statistical Methods for the Social Sciences. Pearson.
- Rosner, B. (2015). Fundamentals of Biostatistics. Cengage Learning.